KONSEP DASAR LIMIT FUNGSI

Misalkan $n$ merupakan bilangan positif, $k$ merupakan konstanta, $f$ dan $g$ adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit-limit maka;

1.  $\lim_{x\to a} k=k$

     Contoh :  $\lim_{x\to 2} 2020 = 2020$

2.  $\lim_{x\to a} x = a$

     Contoh :  $\lim_{x\to 2021} x = 2021$

3.  $\lim_{x \to a} [k.f(x)]=k[\lim_{x \to a} f(x)]$

     Contoh :  $\lim_{x\to 3} 6x = 6 [\lim_{x\to 3} x = 6 [3] = 18$

4.  $\lim_{x \to a} [f(x)\pm g(x)]=\lim_{x\to a} f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)$

     Contoh :  $\lim_{x\ -2} (3x +4)= \lim_{x\to -2} 3x + \lim_{x\to -2} 4$

                                                  $=3[\lim_{x\to -2} x]+[\lim_{x\to -2} 4]$

                                                  $= 3(-2)+4$

                                                  $=-6+4=-2$

5.  $\lim_{x\to a} [f(x)\times g(x)]=\lim_{x\to a} f(x) \times \lim_{x\to a} g{x}$

    Contoh :  $\lim_{x\to 1} (3x+2)(2x+4)=[\lim_{x\to 1} (3x+2)] \times [\lim_{x\to 1} (2x+4)]$

                                                             

                                                                 $=[3(1)+2]\times [2(1)+4]$

                                                                 $=[5][6]$

                                                                 $=30$

6.  $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a} g(x)}$, dengan $\lim_{x\to a} g(x)\neq 0$

     Contoh :  $\lim_{x\to -1} \frac{x^3 +3x-7}{5x^2 +9x+6}=\frac{\lim_{x\to -1} (x^3+3x-7)}{\lim_{x\to -1}(5x^2 +9x+6)}$

                                                             $=\frac{(-1)^3+3(-1)-7}{5(-1)^2+9(-1)+6}$

                                                             $=\frac{-1-3-7}{5-9+6}$

                                                             $=\frac{-11}{2}$

7.  $\lim_{x\to a} [f(x)]^n= [\lim_{x\to a} f(x)]^n$

     Contoh :  $\lim_{x\to 1} (2x+1)^3 =[\lim_{x\to 1} (2x+1)]^3$

                                                     $=[2(1)+1]^3$

                                                     $=[2+1]^3$

                  

                                                     $=3^3=27$

8.  $\lim_{x\to a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a} f(x)}$, dengan $\lim_{x\to a} f(x)>0$ dan $n$ genap.

     Contoh :  $\lim_{x\to  -2} \sqrt[3]{x^2+3x+10}=\sqrt[3]{\lim_{x\to  -2} (x^2+3x+10}$

                                                                 $=\sqrt[3]{(-2)^2+3(-2)+10}$

                                                                 $=\sqrt[3]{4-6+10}$

                                                                 $=\sqrt[3]{8}$

                                                                 $=2$

                 

Latihan:

1.  $\lim_{x\to 2}(x^2+2x+1)= $ ....

2.  $\lim_{x\to 3}(2x^3+3x+1)^3=$ ....

3.  $\lim_{x\to 3}(x+3)(x+1)(x-1)(x-3)=$ ....

4.  $\lim_{x\to -2} \sqrt[3]{x^2-3x-2}=$ ....

5.  $\lim_{x\to 4}(\frac{x-2}{x}+\frac{x-1}{x+5})=$ ....

6.  Diberikan fungsi $f$ ditentukan oleh ;

     $ \left\{\begin{matrix}1+mx, jika x \leq 1 \\ 4-mx, jika x >1 \end{matrix}\right.$

     Tentukan nilai $m$ agar $\lim_{x\to 1^{-}} f(x)=\lim_{x\to 1^{+}} f(x)$

Sumber :  "Buku Sukino, Matematika Jilid 2B, Penerbit Erlangga dicetak oleh PT Gelora Aksara Pratama, Jakarta, 2017".