Syarat matriks yang dapat dideterminankan
yaitu matriks berbentuk persegi atau jumlah kolom sama dengan jumlah baris.
$A=\left(\begin{matrix}3&1&0\\2&3&-8\end{matrix}\right)$
Matriks A tidak dapat ditentukan determinannya
karena memiliki 2 baris dan 3 kolom.
$B=\left(\begin{matrix}1&1\\0&0\end{matrix}\right)$
Matriks B dapat ditentukan determinannya,
karena memiliki 2 baris dan dua kolom. Atau berordo 2 x 2
$D=\left(\begin{matrix}1&0&1\\1&2&-2\\3&2&1\end{matrix}\right)$
Matriks D berordo 3 x 3. Berarti
matriksnya berbentuk matriks persegi dan dapat ditentukan determinannya.
Beberapa sifat-sifat determinan matriks.
1.
Matriks singular yaitu
determinan matriks nya bernilai 0
2.
Jika Semua elemen dari
satu baris atau kolom bernilai 0 maka determinan matriks tersebut adalah 0
Contoh 1:
Jika matriks $A=\left(\begin{matrix}-&0\\7&8\end{matrix}\right)$
Maka $|A|=0$ karena semua element
pada baris 1 bernilai 0
Contoh 2:
Jika Matriks $B=\left(\begin{matrix}1&3&0\\2&12&0\\6&9&0\end{matrix}\right)$
maka $|B|=0$ karena semua element pada
kolom 3 bernilai 0
3.
Jika elemen pada salah
baris sama dengan elemen pada salah satu baris lainnya maka determinan
matriksnya 0
Contoh 3:
$C=\left(\begin{matrix}3&8\\3&8\end{matrix}\right)$
karena element baris 1 sama dengan baris
2 maka determinan
Contoh 4:
$D=\left(\begin{matrix}2&4&7\\3&8&9\\2&4&7\end{matrix}\right)$
karena element baris 1 sama dengan baris
3, maka determinan D adalah 0
4.
Jika elemen pada salah
satu kolom sama dengan kolom lainnya maka determinan matriksnya 0
Contoh 5:
$E=\left(\begin{matrix}1&1\\3&3\end{matrix}\right)$
karena element kolom 1 sama dengan kolom
2, maka determinan E adalah 0
Contoh 6:
$F=\left(\begin{matrix}1&1&7\\5&5&9\\2&2&10\end{matrix}\right)$
karena element kolom 1 sama dengan kolom
2, maka determinan F adalah 0
5.
$|AB|=|A\times
B|=|A|\times |B|$
6.
$|A^T|=|A|$
7.
$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
8.
$|kA|=kn|A|$, dimana k
merupakan konstanta dan n merupakan jumlah baris pada matriks.
A.
Determinan Matriks ordo $A\times B$
Matriks $M=\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)$
Untuk menentukan determinan matriks, kita harus kenal dengan
istilah diagonal uatama dan diagonal lainnya.
$|M|=\text{Perkalian diagonal
utama}-\text{perkalian diagonal lainnya}$
$|M|=a\times d-b\times c$
Contoh 7:
Diketahui,
matriks
$N=\left(\begin{matrix}2&4\\6&8\end{matrix}\right)$, tentukan
determinan matriks N
Pembahasan:
$|N|=2\times 8-4\times 6=16-24$
Jadi Determinan N adalah - 8
Contoh 8:
Diketahui,
Matriks
$P=\left(\begin{matrix}x&x-2\\3&2\end{matrix}\right)$ dan determinan P adalah 5, tentukan nilai
Pembahasan:
$P=\left(\begin{matrix}x&x-2\\3&2\end{matrix}\right)$
$|P|=5$
$x\times 2-(-x-2)\times 3=5$
$2x-(3x-6)=5$
$2x-3x+6$
$-x+6-6=5-6$
$-x=-1$ (dikali dengan $(-1)$)
$x=1$
Jadi nilai $x=1$
Contoh 9:
Diketahui matriks $Q=\left(\begin{matrix}2&\sqrt{x-3}
\\\sqrt{x+2}&3\end{matrix}\right)$, matriks Q adalah matriks singular.
Tentukan nilai $x-2$
Pembahasan:
Matriks singular adalah matriks yang
determinannya sama dengan 0.
$|Q|=0$
$2\times 3-(\sqrt{x-3})(\sqrt{x+2})=0$
$6-(\sqrt{(x-3)(x+2)})=0$
$6-(\sqrt{x^2+2x-3x-6})=0$
$\sqrt{x^2-x-6}=6$ (dikuadratkan kedua sisi supaua akarnya
hilang)
$(\sqrt{x^2-x-6})^2=6^2$
$x^2-x-6=36$
$x^2-x-6-36=36-36$
$x^2-x-42=0$ (faktorkan)
$(x-7)(x+6)=0$
$x-7=0\text{atau}x+6=0$
$x=7\text{atau}x=-6$
Untuk x = 7 maka x – 2 = 7 – 2 = 5
Untuk x = - 6 maka x – 2 =- 6 – 2 = - 8
Jadi nilai x – 2 yaitu 5 atau - 8
Contoh 10:
Diketahui matriks $R=\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)$
dan $S=\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right)$ tentukan
determinan Matriks $R\times S$
Pembahasan:
Cara 1:
Cari matriks $R\times S$
$R\times S=\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right)$
$R\times S=\left(\begin{matrix}2\times
4+1\times (-2)&2\times 3+1\times 1\\4\times 4+(-1)\times (-2)&4\times
3+(-1)\times 1\end{matrix}\right)$
$R\times S=\left(\begin{matrix}8-2&6+1\\16+2&12-1\end{matrix}\right)$
$R\times
S=\left(\begin{matrix}6&7\\18&11\end{matrix}\right)$
$R\times S|=6\times 11-7\times
18=66-126=-60$
Jadi determinan $R\times S$ adalah $-60$
Cara 2:
Cari masing-masing determinan:
$R=\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\text{
maka }|R|=2\times (-1)-1\times 4=-2-4=-6$
$S=\left(\begin{matrix}4&3\\-2&1\end{matrix}\right)\text{
maka } |S|=4\times 1-3\times (-2)=4+6=10$
$|R\times S|=|R|\times |S|=-6\times
10=-60$
Jadi determinan R x S adalah$ – 60$ .
Contoh 11:
Diketahui matriks $T=\left(\begin{matrix}6&7\\7&8\end{matrix}\right)$,
tentukan determinan $T^{2020}$
Pembahasan:
$T=\left(\begin{matrix}6&7\\7&8\end{matrix}\right)\text{,
maka }|T|=6\times 8-7\times 7=48-49=-1$
Determinan $T^{2020}=(-1)^{2020}=1$
Jadi determinan matriks $T^{2020}$ adalah 1
B. Determinan Matriks ordo 3 x 3
Matriks $B=\left(\begin{matrix}a&b&c\\d&&e\\f&g&h\end{matrix}\right)$
untuk menentukan determinan matriks B yang berorodo 3 x 3 kita
perlu tambahan 2 kolom pertama seperti berikut
Contoh 13:
Determinan dari matriks $A=\left(\begin{matrix}2&1&4\\5&3&-2\\3&-1&0\end{matrix}\right)$
adalah …
$|A|=(2\times 3\times 0+1\times (-2)\times 3+4\times 5\times
(-1))-(1\times 5\times 0+2\times (-2)\times (-1)+4\times 3\times 3)$
$|A|=(0+(-6)+(-20))-(0+4+36)$
$|A|=-26-40=-66$
Jadi determinan A adalah – 58
Contoh 14:
Diketahui $T=\left|\begin{matrix}a&3&-1\\-2&4&4\\a-4&6&3\end{matrix}\right|=5$,
maka nilai $a$
Pembahasan:
$(a\times 4\times 3+3\times 4\times a+(-1)\times (-2)\times 3)-(3\times (-2)\times 3+a\times 4\times 6+(-1)\times 4\times a)$
$(12a+12a+12)-(-18+24a-4a)=5$
$24a+12-20a+18=5$
$4a+40=5$
$4a=-35$
$a=-\frac{35}{4}$
Mau lihat pembahasan soal Determinan
lainnya? Klik DISINI
Comments
Post a Comment