PEMBAHASAN SOAL APLIKASI TURUNAN NO.6 #TAHAP 2 T.SIPIL

 

SOAL

$b^{2}x^{2}+x^{2}y^{2}=a^{2}y^{2}$

$b^{2}x^2=a^{2}y^2-x^{2}y^2$

$b^{2}x^2=y^{2}(a^2-x^2)$

$y^2=\frac{b^{2}x^2}{a^2-x^2}$

$y=\sqrt{\frac{b^{2}x^2}{a^2-x^2}}$

$y=\frac{bx}{\sqrt{a^2-x^2}}$

Missalkan:

                  $u(x)=bx\to u’(x)=b$

                  $v(x)=\sqrt{a^2-x^2}\to v’(x)=\frac{1}{2}(a^2-x^2)^{\frac{-1}{2}}(2x)=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$

$y=\frac{u(x)}{v(x)}\to y’=\frac{u’(x).v(x)-v’(x).u(x)}{v^{2(x)}}$

$y’=\frac{b.\sqrt{a^2-x^2}-\frac{-x.bx}{\sqrt{a^2-x^2}}}{(\sqrt{a^2-x^2})^2}$

$y’=\frac{b.(\sqrt{a^2-x^2})^2+bx^2}{\sqrt{a^2-x^2}.(a^2-x^2)}$

$y’=\frac{b.(a^2-x^2)+bx^2}{\sqrt{a^2-x^2}.(a^2-x^2)}$

$y’=\frac{b.a^2-bx^2+bx^2}{\sqrt{a^2-x^2}.(a^2-x^2)}$

$y’=\frac{b.a^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

 

Nilai maks/min $y’=0$

$0=\frac{b.a^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

$ba^2=0$

Jadi fungsinya tidak memiliki nilai maksimum/minimum.

 

Titik Belok; $y’’=0$

$y’=\frac{b.a^2}{(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}}$

 Misalkan:

                 $p(x)=b.a^2\to p’(x)=0$

                 $q(x)=(a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}\to q’(x)=\frac{3}{2}(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}.(-2x)=-3x(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}$

$y’’=\frac{0. (a^2-x^2)^{\frac{3}{2}}-(-3x(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}.b.a^2}{((a^2-x^2)^{\frac{3}{2}})^2}$

$y’’=\frac{3ba^{2}.x(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}{(a^2-x^2)^3}$

Titik belok $y’’=0\to \frac{3ba^{2}.x(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}}{(a^2-x^2)^3}=0$

$3ba^{2}x(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}=0$

$3ba^2x=0\text{ atau }(a^2-x^2)^{\frac{1}{2}}=0$

$x=0\text{ atau }(a^2-x^2)=0$

$x=0\text{ atau }(a-x)(a+x)=0$

$x=0\text{ atau }x=a\text{ atau }x=-a$

untuk $x=0$ maka

$y=\frac{b(0)}{\sqrt{a^2-(0)^2}}=0$

untuk $x=a$ maka 

$y=\frac{ba}{\sqrt{a^2-a^2}}=\infty$

untuk $x=-a$ maka 

$y=\frac{-ba}{\sqrt{a^2-a^2}}=-\infty$

Jadi titik beloknya $(0,0); (a,\infty); (-a,-\infty)$

By. Veggi. Y