Pembahasan Soal Definisi Turunan Fungsi Aljabar #LKS 1 Hal 164 No.4 Karangan Sukino

4.  berdasarkan formula $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$, tentukan formula dari $T'(x)$ untuk fungsi berikut.

     a.  $T(x)=3x-2$
     b.  $T(x)=\sqrt{2+3x}$ 

     c.  $T(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}$

     d.  $T(x)=\frac{1}{x^2\sqrt{x}}$

Jawab:

     a.  $T(x)=3x-2$

          $T(t)=3t-2$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{(3t-2)-(3x-2)}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{(3t-3x}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{(3(t-x)}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}3$

          $T'(x)=3$

     b.  $T(x)=\sqrt{2+3x}$ 

          $T(t)=\sqrt{2+3t}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{\sqrt{2+3t}-\sqrt{2+3x}}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\left[\frac{\sqrt{2+3t}-\sqrt{2+3x}}{t-x}\right]\left[\frac{\sqrt{2+3t}+\sqrt{2+3x}}{\sqrt{2+3t}+\sqrt{2+3x}}\right]$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{(2+3t)-(2+3x)}{(t-x)(\sqrt{2+3t}+\sqrt{2+3x})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{3t-3x}{(t-x)(\sqrt{2+3t}+\sqrt{2+3x})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{3(t-x)}{(t-x)(\sqrt{2+3t}+\sqrt{2+3x})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{3}{\sqrt{2+3t}+\sqrt{2+3x}}$

          $T'(x)=\frac{3}{\sqrt{2+3x}+\sqrt{2+3x}}$

          $T'(x)=\frac{3}{2\sqrt{2+3x}}$

     c.  $T(x)=\frac{1}{x\sqrt{x}}$

          $T(t)=\frac{1}{t\sqrt{t}}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{f(t)-f(x)}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{\frac{1}{t\sqrt{t}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{x\sqrt{x}-t\sqrt{t}}{(t-x)(t\sqrt{t})(x\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\left[\frac{x\sqrt{x}-t\sqrt{t}}{(t-x)(t\sqrt{t})(x\sqrt{x})}\right]\left[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{t}}{\sqrt{x}+\sqrt{t}}\right]$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{x^2-t^2}{(t-x)(t\sqrt{t})(x\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{-(t^2-x^2)}{(t-x)(t\sqrt{t})(x\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{-(t-x)(t+x)}{(t-x)(t\sqrt{t})(x\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{-(t+x)}{(t\sqrt{t})(x\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\frac{-(x+x)}{(x\sqrt{x})(x\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\frac{-2x}{(x^3)(2\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\frac{-1}{(x^2)(\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\frac{-\sqrt{x}}{x^3}$

     e.  $T(x)=\frac{1}{x^2\sqrt{x}}$

          $T(t)=\frac{1}{t^2\sqrt{t}}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{\frac{1}{t^2\sqrt{t}}-\frac{1}{x^2\sqrt{x}}}{t-x}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{x^2\sqrt{x}-t^2\sqrt{t}}{(t-x)(t^2\sqrt{t})(x^2\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\left[\frac{x^2\sqrt{x}-t^2\sqrt{t}}{(t-x)(t^2\sqrt{t})(x^2\sqrt{x})}\right]\left[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{t}}{\sqrt{x}+\sqrt{t}}\right]$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{x^3-t^3}{(t-x)(t^2\sqrt{t})(x^2\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{-(t^3-x^3)}{(t-x)(t^2\sqrt{t})(x^2\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{-(t-x)(t^2+x^2+tx)}{(t-x)(t^2\sqrt{t})(x^2\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\lim_{t\to x}\frac{-(t^2+x^2+tx)}{(t^2\sqrt{t})(x^2\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{t})}$

          $T'(x)=\frac{-(x^2+x^2+(x)x)}{(x^2\sqrt{x})(x^2\sqrt{x})(\sqrt{x}+\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\frac{-3x^2}{(x^5)(2\sqrt{x})}$

          $T'(x)=\frac{-3}{2x^3\sqrt{x}}$

          $T'(x)=\frac{-3\sqrt{x}}{2x^4}$