Persamaan Kuadrat

Capaian Pembelajaran : Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sistem pertidaksamaan linear dua variabel; menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner), serta persamaan eksponensial (berbasis/ bilangan pokok sama) dan fungsi eksponensial.

Tujuan Pembelajaran : Murid mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner) 

A.  Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.

       Persamaan kuadrat merupakan persamaan menggunakan sama dengan dan variabel tertinggi harus berpangkat dua. seperti berikut;

$ax^2+bx+c=0$, 

dimana;  $a\neq 0$ dan $a$ merupakan koefisien dari $x^2$

               $b$ meruppakan koefisien dari $x$

               $c$ merupakan konstanta.

Contoh 1; 

Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat?

(1)   $x^2-3x+5=0$

(2)   $x+7=0$

(3)   $x^2-2x=0$

(4)   $y^2+9=0$

Jawab;

(1)  $x^2-3x+5=0$ karena variabel tertingginya berpangkat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (1) merupakan persamaan kuadrat.

(2)  $x+7=0$ kerana variabel tertingginya berpangkat satu maka persamaan (2) bukan merupakan persamaan kuadrat.

(3)   $x^2-2x=0$ kerena variabel tertinggi berpangkat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (3) merupakan persamaan kuadrat.

(4)  $y^2+9=0$ karena variabel tertingginya berpangat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (4) merupakan persamaan kuadrat.

Latihan 1

Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat?

(1)   $3x+2=0$

(2)   $2x^2-x-1=0$

(3)   $y^2-4=0$

B.  Menentukan Fungsi Kuadrat dari Grafik

     1)  Jika diketahui diketahui dua titik potong pada sumbu x dan satu titik lainnya maka kita gunakan bentuk $y=a(x-x_1)(x-x_2)$

Contoh 2;

Jika persamaan kuadrat umumnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a, b, c$ dari persamaan kuadrat berikut;

(1)   $x^2-4x+4=0$

(2)   $2x^2+6x=0$

(3)   $-x^2+16=0$

Jawab;

(1)   $x^2-4x+4$ maka $a=1$, $b=-4$, dan $c=0$

(2)   $2x^2+6x=0$ bentuk lengkapnya yaitu $2x^2+6x+0=0$ maka $a=2$, $b=6$ dan $c=0$

(3)   $-x^2+16=0$ bentuk lengkapnya yaitu $-x^2+0x+16=0$ maka $a=-1$, $b=0$ dan $c=16$

Latihan 2;

Jika persamaan kuadrat umumnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a, b, c$ dari persamaan kuadrat berikut;

(1)   $x^2-25=0$

(2)   $3x^2-2x+1=0$

(3)   $-x^2+3x=0$.

Persamaan kuadrat jika diketahui titik 

B.  Pemfaktoran

B.  Nilai Deskriminan pada persamaan kuadrat;

      Deskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ disimbolkan dengan D, rumusnya; $D=b^2-4ac$. Nilai deskrimanan digunakan untuk menentukan apakah fungsi dari persamaan kuadrat tersebut memiliki titik potong dengan sumbu x. ada  kemungkinan antara sumbu x dengan grafik fungsi kuadrat dari persamaan kuadrat tersebut.

      1.  Nilai $D<0$

           Grafik titik memotong dan tidak menyinggung sumbu x dengan bahasa lain tidak memiliki akar-akar real atau memiliki akar-akar imajinear. 

     2.  Nilai $D=0$

          Grafik menyinggung sumbu x di satu titik, dengan bahasa lain memiliki akar-akar real dan akar-akar sama(kembar).

     3.  Nilai $D>0$

          Grafik memotong sumbu x di dua titik yang berlainan, dengan bahasa lain memiliki akar-akar real dan berlainan atau nilai akar-akarnya tidak sama.

     4.  Nilai $D\geq 0$

          Grafik menyinggung atau memotong sumbu x, dengan bahasa lain memiliki akar-akar yang real.

      

      Catatan; maksud nilai akar-akar adalah nilai x (absis) yang disinggung atau dipotong oleh grafik fungsi dari persamaan kuadrat tersebut.  

Contoh 3;

Telusurilah apakah persamaan kuadrat $x^2-2x+7=0$ memiliki akar-akar real atau tidak.

Jawab;

$a=1, b=-2, c=7$

$D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(7)$

$D=4-28$

$D=-24<0$

Karena nilai Deskriminannya (D<0) maka persamaan kuadrat $x^2-2x+7$ tidak memiliki akar-akar real     atau tidak menyinggung dan tidak memotong sumbu x.

Latihan 3   

1.  Telusurilah apakah persamaan kuadrat $x^2-3x+2=0$ memiliki akar-akar real atau tidak. 

2.  Telusurilah apakah persamaan kuadrat $2x^2-4x+2=0$ menyinggung sumbu x atau memotong sumbu x atau tidak sama seklai.

Contoh 4;

Diketahui persamaan kuadrat $x^2-\sqrt{3}px+3=0$ menyinggung sumbu x, tentukan nilai p.

Jawab;

$x^2-\sqrt{3}px-3=0$ berarti $a=1, b=-\sqrt{3}p, c=3$

jika persamaan kuadrat menyinggung sumbu $x$, maka nilai deskriminan $D=0$

$D=b^2-4ac=0$

$(-\sqrt{3}p)^2-4(1)(3)=0$ 

$3p^2-12=0$

$3p^2=12$

$p^2=\frac{12}{3}$

$p^2=4$

$p=\sqrt{4}$

$p=\pm 2$

Latihan 4     

Diketahui persamaan kuadrat $x^2-2px+9=0$ menyinggung sumbu x, tentukan nilai p.

Contoh 5;

Persamaan kuadrat $px^2-2px-3=0$ tidak memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah ...

Jawab;

$px^2-2px-3=0$  maka $a=p, b=-2p, c=-3$

Tidak memiliki akar-akar real berarti $D<0$

$D=b^2-4ac<0$

$(-2p)^2-4(p)(-3)<0$

$4p^2+12p<0$

$4p(p+3)<0$

$4p=0 \text{ atau }p+3=0$

$p=\frac{0}{4}=0\text{  atau  }p=-3$

gunakan uji coba salah satu angka antara 0 dan $-3$ yaitu $-1$

$4p(p+3)<0$ maka $4(-1)(-1+3)=(-4)(2)=-8<0$ benar, berarti p berada antara 0 dan $-3$ ditulis $-3<p<0$

Latihan 5

 1.  Persamaan kuadrat $2px^2+px-3=0$ tidak memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah...

 2.  Persamaan kuadrat $x^2-3x+p=0$ memiliki akar-akar real dan berlainan. nilai p adalah ....

C.  Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

      Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka berlaku;

      *   $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

      *   $x_1.x_2=\frac{c}{a}$

      *   $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=\left(-\frac{b}{a}\right)-2\frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2ac}{a^2}=\frac{b^2-2ac}{a^2}$

      *  $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$

      *  $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1.x_2)^2}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}=\frac{b^2-2ac}{c^2}$

Contoh 6;

1.  Persamaan kuadrat $x^2+6x-7=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, tentukanlah;

      a.  $\alpha +\beta=$

      b.  $\alpha . \beta=$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$

      Jawab;

      $x^2+6x-7=0$ berarti $a=1, b=6 , c=-7$

      a.  $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{6}{1}=-6$

      b.  $\alpha . \beta=\frac{c}{a}=\frac{-7}{1}=-7$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}=\frac{6^2-2(1)(-7)}{1^2}=36+14=50$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}=-\frac{6}{-7}=\frac{6}{7}$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}=\frac{6^2-2(1)(-7)}{(-7)^2}=\frac{36+14}{49}=\frac{50}{49}$

      

2.  Persamaan kuadrat $2x^2-3x+4=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, tentukanlah;

      a.  $\alpha +\beta=$

      b.  $\alpha . \beta=$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$

      Jawab

      $2x^2-3x+4=0$ berarti $a=2, b=-3, c=4$

      a.  $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$

      b.  $\alpha . \beta=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$

      c.  $\alpha^2+\beta^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(4)}{2^2}=\frac{9-16}{4}=\frac{-7}{4}$

      d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}=-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}$

      e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(4)}{(4)^2}=\frac{9-16}{16}=\frac{-7}{16}=-\frac{7}{16}$

 Latihan 6

1.  Persamaan kuadrat $x^2+px-q=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$,($p=$nomor absen, dan$q=$jumlah saudara). tentukanlah;

a.  $\alpha +\beta=$

b.  $\alpha . \beta=$

c.  $\alpha^2+\beta^2=$

d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$

2.  Persamaan kuadrat $ax^2+bx-c=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$,($a=$jumlah saudara, $b=$bulan lahir kamu, $c=$ bulan lahir ibu). tentukanlah;

a.  $\alpha +\beta=$

b.  $\alpha . \beta=$

c.  $\alpha^2+\beta^2=$ 

d.  $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$

e.  $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$