Sumber gambar: Panduan Mata Pelajaran Matematika tahun 2025 hal 184
Tujuan Pembelajaran : Murid mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat (termasuk akar imajiner)
A. Bentuk Umum Persamaan Kuadrat.
Persamaan kuadrat merupakan persamaan menggunakan sama dengan dan variabel tertinggi harus berpangkat dua. seperti berikut;
$ax^2+bx+c=0$,
dimana; $a\neq 0$ dan $a$ merupakan koefisien dari $x^2$
$b$ meruppakan koefisien dari $x$
$c$ merupakan konstanta.
Contoh 1
Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat?
(1) $x^2-3x+5=0$
(2) $x+7=0$
(3) $x^2-2x=0$
(4) $y^2+9=0$
Jawab
(1) $x^2-3x+5=0$ karena variabel tertingginya berpangkat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (1) merupakan persamaan kuadrat.
(2) $x+7=0$ kerana variabel tertingginya berpangkat satu maka persamaan (2) bukan merupakan persamaan kuadrat.
(3) $x^2-2x=0$ kerena variabel tertinggi berpangkat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (3) merupakan persamaan kuadrat.
(4) $y^2+9=0$ karena variabel tertingginya berpangat dua dan menggunakan tanda sama dengan maka persamaan (4) merupakan persamaan kuadrat.
Latihan 1
Manakah diantara persamaan berikut yang merupakan persamaan kuadrat?
(1) $3x+2=0$
(2) $2x^2-x-1=0$
(3) $y^2-4=0$
Contoh 2
Jika persamaan kuadrat umumnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a, b, c$ dari persamaan kuadrat berikut;
(1) $x^2-4x+4=0$
(2) $2x^2+6x=0$
(3) $-x^2+16=0$
Jawab
(1) $x^2-4x+4$ maka $a=1$, $b=-4$, dan $c=0$
(2) $2x^2+6x=0$ bentuk lengkapnya yaitu $2x^2+6x+0=0$ maka $a=2$, $b=6$ dan $c=0$
(3) $-x^2+16=0$ bentuk lengkapnya yaitu $-x^2+0x+16=0$ maka $a=-1$, $b=0$ dan $c=16$
Latihan 2
Jika persamaan kuadrat umumnya berbentuk $ax^2+bx+c=0$, tentukan nilai $a, b, c$ dari persamaan kuadrat berikut;
(1) $x^2-25=0$
(2) $3x^2-2x+1=0$
(3) $-x^2+3x=0$.
B. Menentukan Akar-akar Persamaan Kudrat
1. Pemfaktoran
Bentuk umum persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$, langkah-langkah pemfaktorannya
1) Tentukan nilai $a\times c$
2) Pikirkan dua angka yang hasil kali angka tersebut sama dengan hasil $a\times c$ dan hasil jumlah dua angka tersebut sama dengan b. misalkan angka tersebut adalah $\square$ dan $\bigcirc$
3) Gunakan rumus $\frac{(ax+\square)(ax+\bigcirc)}{a}=0$
Contoh 3
Tentukan faktor dan akar-akar persamaan kuadrat $2x^2+x-6=0$.
Jawab
$2x^2+x-6=0$, $a=2,b=1, c=-6$
$a\times c=2\times (-6)=-12$
dua angka yang hasil kalinya $-12$ dan hasil jumlah angka tersebut adalah $b=1$ yaitu $3\times (-4)=-12$ dan $3+(-4)=-1$
gunakan rumus $\frac{(ax+\square)(ax+\bigcirc)}{a}=0$
$\frac{(2x+3)(2x-4)}{2}=0$
$(2x+3)(x-2)=0$ ........(faktornya)
$2x+3=0 \text{ atau } x-2=0$
$2x=-3 \text{ atau }x=2$
$x=\frac{-3}{2}\text{ atau } x=2$ .........(akar-akarnya)
Jadi faktornya $(2x+3)(x-2)=0$, akar-akarnya $x=\frac{-3}{2} \text{ dan } x=2$
Latihan 3
Tentukan faktor dan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut.
1. $x^2+5x+6=0$
2. $x^2+x-6=0$
3. $x^2-x-6=0$
4. $x^2-25=0$
5. $x^2-3x=0$
6. $2x^2+3x+1=0$
7. $3x^2+7x-6=0$
8. $x^2-64=0$
9. $2x^2+5x=0$
10. $6x^2x+x-2=0$
2. Rumus ABC
Bentuk umum persamaan kuadrat yaitu $ax^2+bx+c=0$, akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan menggunakan rumus
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Contoh 4
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2+2x-7=0$.
Jawab
Persamaan kuadrat $x^2+2x-7=0$, $a=1, b=2, c=-7$
$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4(1)(-7)}}{2(1)}$
$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+28}}{2}$
$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}$
$x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{16\times 2}}{2}$
$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4\sqrt{2}}{2}$
$x_{1,2}=-1\pm2\sqrt{2}$
$x_1=-1+2\sqrt{2} \text{ atau }x_2=-1-2\sqrt{2}$
Jadi akar-akarnya adalah $x=-1+2\sqrt{2}$ atau $x=-1-2\sqrt{2}$
Latihan 4
Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat berikut.
1. $x^2+3x-7=0$
2. $x^2-6x+4=0$
3. $2x^2+8x+5=0$
C. Teorema Vieta (Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat)
Persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka berlaku;
* $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$
* $x_1.x_2=\frac{c}{a}$
Pengembangan dari teorema vieta, kita dapatkan rumus berikut.
* $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1.x_2=\left(-\frac{b}{a}\right)-2\frac{c}{a}=\frac{b^2}{a^2}-\frac{2ac}{a^2}=\frac{b^2-2ac}{a^2}$
* $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}=-\frac{b}{c}$
* $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1.x_2)^2}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\left(\frac{c}{a}\right)^2}=\frac{\frac{b^2-2ac}{a^2}}{\frac{c^2}{a^2}}=\frac{b^2-2ac}{c^2}$
Contoh 5
Persamaan kuadrat $2x^2-3x+4=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$, tentukanlah;
a. $\alpha +\beta=$
b. $\alpha . \beta=$
c. $\alpha^2+\beta^2=$
d. $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$
e. $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$
Jawab
$2x^2-3x+4=0$ berarti $a=2, b=-3, c=4$
a. $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$
b. $\alpha . \beta=\frac{c}{a}=\frac{4}{2}=2$
c. $\alpha^2+\beta^2=\frac{b^2-2ac}{a^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(4)}{2^2}=\frac{9-16}{4}=\frac{-7}{4}$
d. $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{b}{c}=-\frac{-3}{4}=\frac{3}{4}$
e. $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}=\frac{(-3)^2-2(2)(4)}{(4)^2}=\frac{9-16}{16}=\frac{-7}{16}=-\frac{7}{16}$
Latihan 5
1. Persamaan kuadrat $x^2+px-q=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$,($p=$nomor absen, dan$q=$jumlah saudara). tentukanlah;
a. $\alpha +\beta=$
b. $\alpha . \beta=$
c. $\alpha^2+\beta^2=$
d. $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$
e. $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$
2. Persamaan kuadrat $ax^2+bx-c=0$ memiliki akar-akar $\alpha$ dan $\beta$,($a=$jumlah saudara, $b=$bulan lahir kamu, $c=$ bulan lahir ibu). tentukanlah;
a. $\alpha +\beta=$
b. $\alpha . \beta=$
c. $\alpha^2+\beta^2=$
d. $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$
e. $\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}=$
D. Nilai Deskriminan dan Hubungannya dengan Akar-akar Persamaan kuadrat
Deskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ disimbolkan dengan D, rumusnya; $D=b^2-4ac$. Nilai deskrimanan digunakan untuk menentukan apakah fungsi dari persamaan kuadrat tersebut memiliki titik potong dengan sumbu x. ada kemungkinan antara sumbu x dengan grafik fungsi kuadrat dari persamaan kuadrat tersebut.
| No | Deskriminan | Hubungan dg Sb $x$ | akar-akarnya |
| 1 | $D<0$ | Tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x | Imajiner |
| 2 | $D=0$ | Menyinggung sumbu x di satu titik | Real dan Sama/kembar |
| 3 | $D>0$ | Memotong sumbu x di dua titik yang berlainan | Real dan Berlainan |
| 4 | $D\geq 0$ | Menyinggung atau memotong sumbu x | Real |
Contoh 6
Telusurilah apakah persamaan kuadrat $x^2-2x+7=0$ memiliki akar-akar real atau tidak.
Jawab;
$a=1, b=-2, c=7$
$D=b^2-4ac=(-2)^2-4(1)(7)$
$D=4-28$
$D=-24<0$
Karena nilai Deskriminannya (D<0) maka persamaan kuadrat $x^2-2x+7$ tidak memiliki akar-akar real atau tidak menyinggung dan tidak memotong sumbu x.
Latihan 6
1. Telusurilah apakah persamaan kuadrat $x^2-3x+2=0$ memiliki akar-akar real atau tidak.
2. Telusurilah apakah persamaan kuadrat $2x^2-4x+2=0$ menyinggung sumbu x atau memotong sumbu x atau tidak sama sekali.
Contoh 7
Diketahui persamaan kuadrat $x^2-\sqrt{3}px+3=0$ menyinggung sumbu x, tentukan nilai p.
Jawab
$x^2-\sqrt{3}px-3=0$ berarti $a=1, b=-\sqrt{3}p, c=3$
jika persamaan kuadrat menyinggung sumbu $x$, maka nilai deskriminan $D=0$
$D=b^2-4ac=0$
$(-\sqrt{3}p)^2-4(1)(3)=0$
$3p^2-12=0$
$3p^2=12$
$p^2=\frac{12}{3}$
$p^2=4$
$p=\sqrt{4}$
$p=\pm 2$
Latihan 7
Diketahui persamaan kuadrat $x^2-2px+9=0$ menyinggung sumbu x, tentukan nilai p.
Contoh 8
Persamaan kuadrat $px^2-2px-3=0$ tidak memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah ...
Jawab
$px^2-2px-3=0$ maka $a=p, b=-2p, c=-3$
Tidak memiliki akar-akar real berarti $D<0$
$D=b^2-4ac<0$
$(-2p)^2-4(p)(-3)<0$
$4p^2+12p<0$
$4p(p+3)<0$
$4p=0 \text{ atau }p+3=0$
$p=\frac{0}{4}=0\text{ atau }p=-3$
gunakan uji coba salah satu angka antara 0 dan $-3$ yaitu $-1$
$4p(p+3)<0$ maka $4(-1)(-1+3)=(-4)(2)=-8<0$ benar, berarti p berada antara 0 dan $-3$ ditulis $-3<p<0$
Latihan 8
1. Persamaan kuadrat $2px^2+px-3=0$ tidak memiliki akar-akar real, maka nilai p adalah...
2. Persamaan kuadrat $x^2-3x+p=0$ memiliki akar-akar real dan berlainan. nilai p adalah ...
E. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Jika diketahui Hubungan Akar-akar dengan Persamaan Kuadrat Lainnya
Jika persamaan kuadrat baru memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$, maka persamaan kuadrat barunya yaitu $x^2-(x_1+x_2)x+x_1.x_2=0$
Beberapa rumus cepat untuk menentukan persamaan kuadrat baru yang ada hubungannya dengan persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ yang memiliki akar-akar $x_1$ dan $x_2$.
| No | Akar-akarnya | Rumus Cepat PKB |
| 1 | $(x_1+ p)$ dan $(x_2+ p)$ | $a(x- p)^2+b(x- p)+c=0$ |
| 2 | $(x_1-p)$ dan $(x_2-p)$ | $a(x+p)^2+b(x+p)+c=0$ |
| 3 | $nx_1$ dan $nx_2$ | $ax^2+bnx+cn^2=0$ |
| 4 | $\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$ | $cx^2+bx+a=0$ |
| 5 | $\frac{x_1}{n}$ dan $\frac{x_2}{n}$ | $a(nx)^2+b(nx)+c=0$ |
Contoh 9
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3x+5=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya.
1. $x_1+2$ dan $x_2+2$
2. $x_1-1$ dan $x_2-1$
3. $3x_1$ dan $3x_2$
4. $\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$
5. $\frac{x_1}{2}$ dan $\frac{x_2}{2}$
Jawab
Persamaan kuadrat baru (PKB)
| No | Penyelesaian | Rumus Cepat |
| 1 | Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar (PKB), sehingga $\alpha=x_1+2$ dan $\beta=x_2+2$ * $\alpha +\beta=(x_1+2)+(x_2+2)$ $\alpha +\beta=x_1+x_2+4$ $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}+4$ $\alpha +\beta=-3+4$ $\alpha +\beta=1$ * $\alpha.\beta=(x_1+2)(x_2+2)$ $\alpha.\beta=x_1x_2+2x_1+2x_2+4$ $\alpha.\beta=x_1x_2+2(x_1+x_2)+4$ $\alpha.\beta=\frac{c}{a}+2\left(-\frac{b}{a}\right)+4$ $\alpha.\beta=5+2(-3)+4$ $\alpha.\beta=3$ PKB : $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha.\beta=0$ $x^2-x+3=0$ jadi PKB ya $x^2-x+3=0$ | $(x-2)^2+3(x-2)+5=0$ Ingat : $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$ $x^2-4x+4+3x-6+5=0$ $x^2-x+3=0$ Jadi PKBnya $x^2-x+3=0$ |
| 2 | Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar PKB, sehingga $\alpha=x_1-1$ dan $\beta=x_2-1$ * $\alpha +\beta=(x_1-1)+(x_2-1)$ $\alpha +\beta=x_1+x_2-2$ $\alpha +\beta=-\frac{b}{a}-2$ $\alpha +\beta=-3-2$ $\alpha +\beta=-5$ * $\alpha.\beta=(x_1-1)(x_2-1)$ $\alpha.\beta=x_1x_2-x_1-x_2+1$ $\alpha.\beta=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$ $\alpha.\beta=\frac{c}{a}-\left(-\frac{b}{a}\right)+1$ $\alpha.\beta=5-(-3)+1$ $\alpha.\beta=9$ PKB : $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha.\beta=0$ $x^2-(-5)x+9=0$ $x^2+5x+9=0$ Jadi PKBnya $x^2+5x+9=0$ | $(x+1)^2+3(x+1)+5=0$ .........(ingat $(a\pmb)^2=a^2\pm 2ab+b^2$) $x^2+2x+1+3x+3+5=0$ $x^2+5x+9=0$ Jadi PKBnya $x^2+5x+9=0$ |
| 3 | Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar PKB, sehingga $\alpha=3x_1$ dan $\beta=3x_2$ * $\alpha +\beta=3x_1+3x_2$ $\alpha +\beta=3(x_1+x_2)$ $\alpha +\beta=3\left(-\frac{b}{a}\right)$ $\alpha +\beta=3(-3)$ $\alpha +\beta=-9$ * $\alpha.\beta=(3x_1)(3x_2)$ $\alpha.\beta=9x_1x_2$ $\alpha.\beta=9(5)$ $\alpha.\beta=45$ PKB : $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha.\beta=0$ $x^2-(-9)x+45=0$ $x^2+9x+45=0$ Jadi PKBnya $x^2+9x+45=0$ | $x^2+3(3x)+5(3^2)=0$ $x^2+9x+45=0$ jadi PKBnya $x^2+9x+45=)$ |
| 4 | Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar PKB , sehingga $\alpha=\frac{1}{x_1}$ dan $\beta=\frac{1}{x_2}$ * $\alpha +\beta=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ $\alpha +\beta=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$ $\alpha +\beta=\frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}$ $\alpha +\beta=\frac{-3}{5}$ * $\alpha.\beta=\frac{1}{x_1}.\frac{1}{x_2}$ $\alpha.\beta=\frac{1}{x_1x_2}$ $\alpha.\beta=\frac{1}{\frac{c}{a}}$ $\alpha.\beta=\frac{1}{5}$ persamaan kuadrat barunya $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha.\beta=0$ $x^2-(-\frac{3}{5})+\frac{1}{5}=0$ dikali 5 $5x^2+3x+1=0$ Jadi PKBnya $5x^2+3x+1=0$ | $5x^2+3x+1=0$ Jadi PKBnya $5x^2+3x+1=0$ |
| 5 | Misalkan $\alpha$ dan $\beta$ akar-akar PKB, sehingga $\alpha=\frac{x_1}{2}$ dan $\beta=\frac{x_2}{2}$ * $\alpha +\beta=\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2}$ $\alpha +\beta=\frac{x_1+x_2}{2}$ $\alpha +\beta=\frac{-\frac{b}{a}}{2}$ $\alpha +\beta=\frac{-3}{2}$ * $\alpha.\beta=\frac{x_1}{2}.\frac{x_2}{2}$ $\alpha.\beta=\frac{x_1x_2}{4}$ $\alpha.\beta=\frac{\frac{c}{a}}{4}$ $\alpha.\beta=\frac{5}{4}$ PKBnya $x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha.\beta=0$ $x^2-(-\frac{3}{2})+\frac{5}{4}=0$ dikali 4 $4x^2+6x+5=0$ Jadi PKBnya $4x^2+6x+5=0$ | $(2x)^2+3(2x)+5=0$ $4x^2+6x+5=0$ Jadi PKBnya $4x^2+6x+5=0$ |
Latihan 9
Akar-akar persamaan kuadrat $x^2+px+q=0$ adalah $x_1$ dan $x_2$, tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya.
1. $x_1+2$ dan $x_2+2$
2. $x_1-1$ dan $x_2-1$
3. $3x_1$ dan $3x_2$
4. $\frac{1}{x_1}$ dan $\frac{1}{x_2}$
5. $\frac{x_1}{2}$ dan $\frac{x_2}{2}$
ganti p dengan bulan lahirmu, dan q dengan angka satuan tanggal lahirmu.
F. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu.
1. Menentukan titik potong pada sumbu $x$, dimana $y=0$
2. Menentukan titik potong pada sumbu $y$, dimana $x=0$
3. Menentukan sumbu simetri dengan rumus $x_p=-\frac{b}{2a}$
4. Menentukan nilai puncak pada sumbu y dengan rumus $y_p=-\frac{D}{4a}$
5. Menentukan koordinat titik puncak $(x_p,y_p)$
6. Menentuk titik lainnya dengan memilih beberapa nilai x yang berdekatan dengan titik puncak dan mensubstusikan pada fungsi kuadrat.
7. posisikan semua titik-titik dari langkah 1 - 6 pada diagram kartesius, dan hubungkan setiap titik dengan kurva halus.
Contoh 10
Gambarkan grafik fungsi $y=x^2+5x+6$.
Jawab
* Titik potong pada sumbu $x$, dimana $y=0$
$x^2+5x+6=0$
$(x+2)(x+3)=0$
$x=-2\text{ atau }x=-3$
jadi titik potongnya $(-2,0)\text{ dan }(-3,0)$
* Titik potong pada sumbu $y$, dimana $x=0$
$y=(0)^2+5(0)+6$
$y=6$
Jadi titik potongnya $(0,6)$
* Sumbu simetri $(x_p)$
$x_p=-\frac{b}{2a}$
$x_p=-\frac{5}{2(1)}$
$x_p=-\frac{5}{2}=-2,5$
* Nilai puncak $(y-p)$
$y_p=-\frac{D}{4a}=-\frac{b^2-4ac}{4a}$
$y_p=-\frac{5^2-4(1)(6)}{4(1)}$
$y_p=-\frac{25-24}{4}$
$y_p=-\frac{1}{4}=-0,25$
* Titik puncak $(x_p, y_p)$ adalah $\left(-\frac{5}{2}, -\frac{1}{4}\right)$
* titik lainnya
| $x$ | $-4$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ |
| $y$ | $(-4)^2+5(-4)+6=2$ | $(-3)^2+5(-3)+6=0$ | $(-2)^2+5(-2)+6=0$ | $(-1)^2+5(-1)+6=2$ |
| $(x,y)$ | $(-4,2)$ | $(-3,0)$ | $(-2,0)$ | $(-1,2)$ |
Latihan 10
Gambarlah grafik fungsi kuadrat.
1. $y=x^2+6x+8$
2. $y=x^2+3x+4$
G. Menentukan Fungsi Kuadrat dari Grafik
1) Jika diketahui dua titik potong pada sumbu x yang disebut dengan akar-akar dari persamaan kuadrat dan satu titik lainnya yang dilalui kurva, untuk menentukan fungsi kuadrat, kita menggunakan bentuk $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
Grafik (1) memiliki akar-akar $x_1=-2$ dan $x_2=-3$ dan melalui titik $(0,6)$
* Menentukan nilai $a$ dengan cara ganti $x$ dengan $0$, $y$ dengan $6$, $x_1$ dengan $-2$ dan $x_2$ dengan $-3$ pada $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$6=a(0-(-2))(0-(-3))$
$6=a(2)(3)$
$6=6a$
$a=\frac{6}{6}=1$
* Menentukan fungsi kuadratnya dengan mengganti $a$ dengan $1$, $x_1$ dengan $-2$ dan $x_2$ dengan $-3$ pada fungsi $y=a(x-x_1)(x-x_2)$
$y=1(x-(-2))(x-(-3))$
$y=(x+2)(x+3)$
$y=(x^2+3x+2x+6)$
$y=(x^2+5x+6)$
$y=x^2+5x+6$
2) Jika diketahui titik puncak dan satu titik lainnya yang dilalui kurva, untuk menentukan fungsi kuadratnya menggunakan bentuk $y=a(x-x_p)^2+y_p$, ($(x_p, y_p)$ merupakan titik puncak kurva)
Grafik (2), titik puncaknya berada pada $(2,2)$ dan melalui titik $(0,6)$ .
* Menentukan nilai $a$ dengan cara ganti $x$ dengan $0$, $y$ dengan $6$, $x_p$ dengan 2 dan $y_p$ dengan 2.
$6=a(0-2)^2+2$
$6=a(-2)^2+2$
$6-2=4a$
$a=\frac{4}{4}=1$
* Menentukan fungsi kuadratnya dengan cara ganti $a$ dengan 1, $x_p$ dengan 2, $y_p$ dengan 2 pada $y=a(x-x_p)^2+y_p$
$y=(x-2)^2+2$ .............(ingat $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$)
$y=x^2-4x+4+2$
$y=x^2-4x+6$
jadi fungsi kuadrat (2) $y=x^2-4x+6$
3) Jika titik puncak dan titik potong terhadap sumbu x (akar-akarnya) tidak jelas, namun diketahui tiga titik yang dilewati kurva, untuk menentukan fungsu kuadrat menggunakan bentuk $y=Ax^2+Bx+C$
Grafik (3) melalui $(-1,0), (0,-1), (1,2)$
* Untuk titik $(-1,0)$ artinya kita ganti $x$ dengan $-1$ dan $y$ dengan $0$ pada bentuk umum $y=Ax^2+Bx+C$
$0=A(-1)^2+B(-1)+C$
$A-B+C=0$ ............(1)
* Untuk titik $(0,-1)$ artinya kita ganti $x$ dengan $0$ dan $y$ dengan $-1$ pada bentuk umum $y=Ax^2+Bx+C$
$-1=A(0)^2+B(0)+C$
$C=-1$ ...................(2)
* Untuk titik $(1,2)$ artinya kita ganti $x$ dengan $1$ dan $y$ dengan $2$ pada bentuk umum $y=Ax^2+Bx+C$
$2=A(1)^2 +B(1)+C$
$A+B+C=2$ ...........(3)
Subtitusi persamaan (2) yaitu $c=-1$ pada persaman (1) $A-B+C=0$ menjadi
$A-B-1=0$
$A-B=1$..............(4)
Subtitusi persamaan (2) yaitu $c=-1$pada persamaan (3) $A+B+C=2$ menjadi
$A+B-1=2$
$A+B=3$ .............(5)
Elimininasi B dari Persamaan (4) dan (5)
$A-B=1 $
$\underline{A+B=3} +$
$2A = 4$
$A=\frac{4}{2}=2$ ...........(6)
Subtitusi $A=2$pada persamaan (4)
$2-B=1$
$B=1$
karena diperoleh $A=2, B=1, C=-1$ maka fungsi kuadrat grafik (3) adalah $y=2x^2+x-1$
Latihan ....
Tentukan fungsi kuadarat dari grafik berikut.
H. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Fungsi Kuadrat
1. Proyeksi Benda dilempar ke udara
Memodelkan lintasan atau ketinggian suat benda,seperti bola basket yang dilempar atau gerak peluru yang ditembakkan. modelnya yaitu
$h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0$
keterangan;
$h(t)$ : ketinggian benda pada waktu tertentu
$g$ : percepatan grafitasi
$t$ : waktu
$v_0$ : kecepatan awal benda$
$h_0$ : ketinggian awal benda
Menentukan berapa waktu yang diperlukan untuk mencapai ketinggian maksimum menggunakan rumus sumbu simetri pada persamaan kuadrat. sedangkan untuk menentukan ketinggian maksimum menggunakan rumus $-\frac{D}{4a}$ atau mensubstitusikan nilai sumbu simetri pada pada fungsi kuadrat.
Contoh
Lintasan sebuah bola yang ditendang dimodelkan oleh fungsi ketinggian $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$, di mana $h$ adalah ketinggian (meter) dan $t$ adalah waktu (detik). Berapa ketinggian maksimum yang dapat dicapai bola tersebut?
2. Optimasi Luas dan Keliling
Menentukan dimensi optimal (panjang dan lear) dari suatu bangun datar,misalnya kandang,taman atau kolam renang,untuk mencapai luas maksimum dengan batasan keliling tertentu, atau sebaliknya.jika tersedia kawat sepanjang $K$ (keliling) untuk membuat kandang persegi panjang, dan panjangnya $(p)$ adalah variabel independen, maka lebar $(l)$ adalah
Comments
Post a Comment