Invers Fungsi

 Jika suatu fungsi $f(x)=y=ax+b$ maka invers dari fungsi $y=ax+b$ artinya mengubah fungsi $y=ax+b$ dalam bentuk $x=...$ 

A.  Invers Fungsi $y=ax+b$

          $y=ax+b$ menggubah menjadi $x=..$

          $ax+b=y$

          $ax=y-b$

          $x=\frac{y-b}{a}$

          jadi Invers dari $y=ax+b$ menjadi $y^{-1}=f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$

          

          Contoh 1;

          Invers dari fungsi $y=3x+5$ adalah....

          

          Jawab;

          $y=3x+5$ maka $y^{-1}=\frac{x-5}{3}$

          

          Latihan 1;

          1.  Tentukan invers dari fungsi $y=2x+3$ adalah ....

          2.  Tentukan invers dari fungsi $y=5x-8$ adalah ...

B.  Invers fungsi $y=\frac{ax+b}{cx+d}$

          $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ merubah menjadi $x =...$

          $\frac{ax+b}{cx+d}=y$

          $ax+b=y(cx+d)$

          $ax+b=cxy+dy$

          $ax-cxy=dy-b$

          $x(a-cy)=dy-b$

          $x=\frac{dy-b}{a-cy}$

          $x=\frac{dy-b}{-cy+a}$

          Jadi invers dari $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ adalah $y^{-1}=\frac{dx-b}{-cx+a}$

          

          Contoh2;

          Tentukan invers dari fungsi $y=\frac{3x-2}{4x+5}$

          Jawab;

          $y=\frac{3x-2}{4x+5}$ maka inversnya

          $y^{-1}=\frac{5x+2}{-4x+3}$

          Latihan 2;

          1.  Tentukan invers dari $y=\frac{2x-7}{3x+8}, x\ne -\frac{8}{3}$

          2.  Tentukan invers dari $y=\frac{3}{2-4x}, x\ne \frac{1}{2}$

          3.  Tentukan invers dari $y=\frac{3-2x}{4x-5}, x\ne \frac{5}{4}$

C.  Invers fungsi $y=ax^2+bx+c$

          Invers dari fungsi $y=ax^2+bx+c$ maka inversnya

          $ax^2+bx=y-c$

          $\frac{ax^2}{a}+\frac{bx}{a}=\frac{y-c}{a}$  (Kedua ruas dibagi dengan $a$)

          $x^2+\frac{bx}{a}=\frac{y-c}{a}$

          $(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}=\frac{y-c}{a}$

          $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{y-c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}$

          $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{4a}{4a}\left(\frac{y-c}{a}\right)+\frac{b^2}{4a^2}$

          $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{4ay-4ac+b^2}{4a^2}$

          $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{4ay+b^2-4ac}{4a^2}$

          $\left(x+\frac{b}{2a}\right)=\sqrt{\frac{4ay+b^2-4ac}{4a^2}}$

          $x=\pm \frac{\sqrt{4ay+b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$

          $x=\frac{-b\pm\sqrt{4ay+b^2-4ac}}{2a}$

          jadi invers dari fungsi $y=ax^2+bx+c$ adalah $y^{-1}=\frac{-b\pm\sqrt{4ax+b^2-4ac}}{2a}$

          Contoh 3;

          Tentukan invers dari fungsi $y=2x^2+5x-3$

          

          Jawab;

          Cara 1; menggunakan konsep kuadrat sempurna

          $2x^2+5x-3=y$

          $2x^2+5x=y+3$

          $\frac{2x^2}{2}+\frac{5x}{2}=\frac{y+3}{2}$

          $x^2+\frac{5x}{2}=\frac{y+3}{2}$

          $(x+\frac{5}{4})^2-\frac{25}{16}=\frac{y+3}{2}$

          $(x+\frac{5}{4})^2=\frac{y+3}{2}+\frac{25}{16}$

          $(x+\frac{5}{4})^2=\frac{8}{8}\left(\frac{y+3}{2}\right)+\frac{25}{16}$

          $(x+\frac{5}{4})^2=\frac{8y+24}{16}+\frac{25}{16}$

          $(x+\frac{5}{4})^2=\frac{8y+49}{16}$

          $x+\frac{5}{4}=\sqrt{\frac{8y+49}{16}}$

          $x+\frac{5}{4}=\pm\frac{\sqrt{8y+49}}{4}$

          $x=-\frac{5}{4}\pm\frac{\sqrt{8y+49}}{4}$

          $x=\frac{-5\pm\sqrt{8y+49}}{4}$

          Jadi $y^{-1}=\frac{-5\pm\sqrt{8x+49}}{4}$

         Cara 2; menggunakan rumus;

         Jika $y=ax^2+bx+c$ maka $y^{-1}=\frac{-b\pm\sqrt{4ax+b^2-4ac}}{2a}$

         $y=2x^2+5x-3$ berarti $a=2, b=5, c=-3$

         $y^{-1}=\frac{-5\pm\sqrt{4(2)x+(5)^2-4(2)(-3)}}{2(2)}$

         $y^{-1}=\frac{-5\pm\sqrt{8x+25+24}}{4}$

         $y^{-1}=\frac{-5\pm\sqrt{8x+49}}{4}$

    

        Latihan 3;

        1.  Tentukan invers dari $y=3x^2+4x-2$   (selesaikan dengan kedua cara)

        2.  Tentukan invers dari $y=x^2-4x+4$ 

        3.  Tentukan invers dari $=ax^2-bx-c$ ganti 

              $a$ = Kamu anak ke berapa

              $b$= Jumlah bersaudara termasuk kamu

              $c$= bulan lahir mu dalam bentuk angka/bilangan.

D.  Invers Fungsi Irrasional

         1.  Invers Fungsi $y=\sqrt{ax+b}$

                  Jika fungsi irrasional $y=\sqrt{ax+b}$  maka inversnya mengubah menjadi $x= ..$

                  $\sqrt{ax+b}=y$

                  $(ax+b)^\frac{1}{2}=y$

                  $\left[(ax+b)^\frac{1}{2}\right]^2=y^2$  (kedua ruas dikuadratkan)

                  $ax+b=y^2$

                  $ax=y^2-b$

                  $x=\frac{y^2-b}{a}$

                  Jadi invers dari fungsi irrasional $y=\sqrt{ax+b}$ adalah $y^{-1}=\frac{x^2-b}{a}$

     

                  Contoh 4;

                  Tentukan invers dari $y=\sqrt{3x+4}$

                  Jawab;

                  Cara 1;

                  $\sqrt{3x+4}=y$

                  $(3x+4)^\frac{1}{2}=y$

                  $\left[(3x+4)^\frac{1}{2}\right]^2=y^2$

                  $3x+4=y^2$

                  $3x=y^2-4$

                  $x=\frac{y^2-4}{3}$

                  jadi invers dari $y=\sqrt{y^2-4}{3}$ adalah $y^{-1}=\frac{x^2-4}{3}$

                 Cara 2; Menggunakan rumus

                 Jika $y=\sqrt{ax+b}$ maka $y^{-1}=\frac{x^2-b}{a}$

                 $y=\sqrt{3x+4}$ maka $a=3, b=4$ maka   $y^{-1}=\frac{x^2-4}{3}$

                 Latihan 4;

                 1.  Tentukan invers dari $y=\sqrt{2x-5}$

                 2.  Tenukan invers dari $y=\sqrt{ax+b}$, dimana;

                      $a$  merupakan bulan lahir dalam bentuk angka

                      $b$ merupakan no urut di absensi kelasmu.